Ochorenie sa vyskytuje vzácne u 1 % ľudí. Prítomnosť ochorenia sa testuje citlivým vyšetrením, ktoré indikuje ochorenie (pozitívny výsledok) s pravdepodobnosťou 95 % u chorých a s pravdepodobnosťou 70 % zamieta ochorenie (negatívny výsledok) u zdravých ľudí, t.j. prevalencia ochorenia je 1 %, senzitivita testu je 95 % a špecificita testu je 70 %.
Ďalej sa u pozitívne vyšetrených vykonáva ešte druhé špecifické vyšetrenie. To u zdravého človeka vylúči ochorenie s pravdepodobnosťou 99 %, zatiaľ čo u chorého človeka vylúči ochorenie s pravdepodobnosťou 10 %.
Aká je pravdepodobnosť, že je človek chorý, ak bol označený druhým testom za chorého, a aká je pravdepodobnosť, že je človek zdravý, ak bol druhým testom označený za zdravého?
Pravdepodobnosť výskytu ochorenia je P(N) = 0,01, senzitivita prvého testu je P(+1|N) = 0,95 a jeho špecificita P(-1|Z) = 0,7.
Pravdepodobnosť, že je človek chorý, ak bol označený prvým testom za chorého, je
![](https://aktuarstvo.sk/wp-content/uploads/2021/11/vzorec-4.png)
Pravdepodobnosť, že je človek zdravý, ak bol označený prvým testom za zdravého, je
![](https://aktuarstvo.sk/wp-content/uploads/2021/11/vzorec-5.png)
Pokiaľ je človek označený prvým testom za chorého, pravdepodobnosť, že je zdravý, P(Z|+1) = 1 – P (N|+1), je veľmi vysoká – 96,9 % (je to vďaka tomu, že ochorenie sa v populácii vyskytuje veľmi vzácne). Preto sa používa druhý špecifický test, ktorý je na prvom teste nezávislý a pre ktorý podľa zadania platí P(+2|N) = 0,90 a P(-2|Z) =0,99. Ďalej budeme používať značenie p, pokiaľ obidva testy dopadli pozitívne, teda p = +1 +2 , a n, pokiaľ prvý test dopadol negatívne alebo pokiaľ prvý test dopadol pozitívne a zároveň druhý negatívne, t.j. n = -1 u + 1-2.
Pravdepodobnosť pozitívneho nálezu u chorého človeka je teda
![](https://aktuarstvo.sk/wp-content/uploads/2021/11/vzorec-6.png)
Pravdepodobnosť pozitívneho nálezu u zdravého človeka je
![](https://aktuarstvo.sk/wp-content/uploads/2021/11/vzorec-7.png)
Pravdepodobnosť, že je človek chorý, pokiaľ má po oboch testoch pozitívny nález, je
![](https://aktuarstvo.sk/wp-content/uploads/2021/11/vzorec-8.png)
Pravdepodobnosť, že je človek zdravý, pokiaľ má negatívny nález je
![](https://aktuarstvo.sk/wp-content/uploads/2021/11/vzorec-9.png)
Fakt, že je pravdepodobnosť P(Z|n) menšia než pravdepodobnosť P(Z|-1), je daný tým, že jav n = -1 u +1-2 v sebe zahŕňa aj prípady, kedy prvý test dopadol pozitívne a kedy o výsledku druhého testu nič nevieme, keď prvý test dopadol negatívne. Pravdepodobnosť javu P(Z| -1 -2) je v súlade s očakávaním väčším než P(Z| -1).